カントール空間、ベール空間、および関連する位相空間の構造に関する完全な解説

強三角不等式 $d(x, z) \le \max \{ d(x, y), d(y, z) \}$ を示す。$x = z$ の場合は自明である。$x \neq z$ とし、$d(x, z) = 2^{-k}$ とおく。すなわち、$x$ と $z$ は最初の $k$ 個の座標が一致し、第 $k$ 座標で $x_k \neq z_k$ となる。任意の $y \in X$ をとるとき、$y_k$ は $x_k$ と異なるか、$z_k$ と異なるかの少なくとも一方を満たす。前者の場合は $d(x, y) \ge 2^{-k}$ であり、後者の場合は $d(y, z) \ge 2^{-k}$ である。いずれにせよ $\max \{ d(x, y), d(y, z) \} \ge 2^{-k} = d(x, z)$ が成立する。
また、中心 $x \in X$、半径 $r = 2^{-n+1}$ の開球 $B_r(x) = \{ y \in X \mid d(x, y) < r \}$ を考えると、これは $d(x, y) \le 2^{-n}$ と同値であり、すなわち最初の $n$ 個の座標が一致する集合 $U(x_0, \dots, x_{n-1})$ に他ならない。球全体が開基をなすことより、$d$ による位相と直積位相は一致する。

定義より $V$ は開集合である。その補集合を考えると、 $$ X \smallsetminus V = \bigcup \{ U(b_0, \dots, b_{n-1}) \mid (b_0, \dots, b_{n-1}) \in A^n \smallsetminus \{(a_0, \dots, a_{n-1})\} \} $$ と表される。開集合の任意の和集合は開集合であるから、$X \smallsetminus V$ は開集合である。したがって $V$ は閉集合でもある。

補題 1.3 より $2^\mathbb{N}$ は超距離 $d$ によって距離化可能である。
完備性： $2^\mathbb{N}$ 内のコーシー列 $(x^{(m)})_{m \in \mathbb{N}}$ をとる。任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在し、$m, l \ge M$ ならば $d(x^{(m)}, x^{(l)}) \le 2^{-k}$ となる。これは $m, l \ge M$ において各列の最初の $k$ 個の座標が完全に一致することを意味する。したがって、各 $n \in \mathbb{N}$ に対して座標列 $(x^{(m)}_n)_{m \in \mathbb{N}}$ は最終的に一定の値 $x_n \in \{0, 1\}$ に収束する。数列 $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in 2^\mathbb{N}$ を定めると、$x^{(m)}$ は距離 $d$ において $x$ に収束する。よって完備である。
可分性： 最終的にすべて $0$ となる数列全体の集合 $D = \{ x \in 2^\mathbb{N} \mid \exists N, \forall n \ge N, x_n = 0 \}$ を考える。$D = \bigcup_{N=0}^\infty \{ x \in 2^\mathbb{N} \mid \forall n \ge N, x_n = 0 \}$ であり、各成分集合は有限集合 $\{0, 1\}^N$ と同型であるから、$D$ は可算和集合として可算集合である。任意の $y \in 2^\mathbb{N}$ と任意のシリンダー近傍 $U(y_0, \dots, y_{n-1})$ に対し、$z = (y_0, \dots, y_{n-1}, 0, 0, \dots) \in D \cap U(y_0, \dots, y_{n-1})$ が存在する。よって $D$ は稠密であり、$2^\mathbb{N}$ は可分である。

シリンダー集合全体の族は clopen 集合からなる開基をなすため、$2^\mathbb{N}$ は定義により零次元である。
一般に、コンパクト Hausdorff 空間 $Y$ において、完全不連結であることと零次元であることは同値である。以下にその証明を与える。
$Y$ をコンパクト Hausdorff 空間とし、完全不連結であると仮定する。任意の $y \in Y$ とその任意の開近傍 $U$ をとる。$A = Y \smallsetminus U$ は閉集合であり、コンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトである。$y$ の準成分 (quasi-component) $Q_y$（$y$ を含むすべての clopen 集合の共通部分）を考えると、コンパクト Hausdorff 空間においては $Q_y$ は $y$ の連結成分と一致する。$Y$ は完全不連結であるから $Q_y = \{y\}$ である。したがって、任意の $z \in A$ に対して $z \notin Q_y$ であり、$y \in C_z$ かつ $z \notin C_z$ となる clopen 集合 $C_z$ が存在する。$\{ Y \smallsetminus C_z \}_{z \in A}$ は $A$ の開被覆となる。$A$ のコンパクト性より、有限部分被覆 $\{ Y \smallsetminus C_{z_i} \}_{i=1}^m$ が存在する。$C = \bigcap_{i=1}^m C_{z_i}$ とおくと、$C$ は有限個の clopen 集合の交わりであるから clopen であり、$y \in C$ かつ $C \cap A = \varnothing$（すなわち $C \subset U$）を満たす。以上より、$y$ の clopen な近傍基が存在するので $Y$ は零次元である。

孤立点の非存在： 任意の $x \in 2^\mathbb{N}$ とその任意の基本開近傍 $V = U(x_0, \dots, x_{n-1})$ をとる。点 $y \in 2^\mathbb{N}$ を、$i < n$ で $y_i = x_i$、$y_n = 1 - x_n$、$i > n$ で $y_i = x_i$ と定義すると、$y \in V$ かつ $y \neq x$ である。したがって $\{x\}$ は開集合になり得ず、孤立点は存在しない。
コンパクト性： 離散空間 $\{0, 1\}$ は有限集合であるからコンパクトである。Tychonoff の定理により、コンパクト空間の任意個の直積はコンパクトであるため、$2^\mathbb{N}$ はコンパクトである。

写像 $f \colon 2^\mathbb{N} \to C$ を $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2 x_n}{3^{n+1}} $$ と定義する。3進展開の性質より、$f$ は $2^\mathbb{N}$ から $C$ への全単射である。
$f$ の連続性を示す。任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$3^{-N} < \varepsilon$ となる $N \in \mathbb{N}$ をとる。$d(x, y) \le 2^{-N}$ ならば、 $x$ と $y$ の最初の $N$ 個の座標は一致する。このとき、 $$ |f(x) - f(y)| = \left| \sum_{n=N}^\infty \frac{2 (x_n - y_n)}{3^{n+1}} \right| \le \sum_{n=N}^\infty \frac{2}{3^{n+1}} = \frac{1}{3^N} < \varepsilon $$ となり、$f$ は連続である。コンパクト空間 $2^\mathbb{N}$ から Hausdorff 空間 $C$ への連続全単射は同相写像であるため、$f$ は同相写像である。

定理 2.1 と同様に、離散空間 $\mathbb{N}$ の可算直積として完備距離化可能であり、最終的に $0$ となる整数列全体の集合が可算稠密となるため Polish である。また、シリンダー集合が clopen 開基となるため零次元である。

ある点 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ がコンパクトな近傍 $K$ を持つと仮定して矛盾を導く。 開基の定義より、$x \in V \subset K$ となるシリンダー集合 $V = U(x_0, \dots, x_{n-1})$ が存在する。$V$ は closed であるから、コンパクト集合 $K$ の閉部分集合として $V$ もコンパクトでなければならない。
ここで、$V$ 内の点列 $(y^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ を次のように構成する： $$ y^{(k)}_i = \begin{cases} x_i & (i < n \text{ のとき}) \\ k & (i = n \text{ のとき}) \\ 0 & (i > n \text{ のとき}) \end{cases} $$ 各 $y^{(k)}$ は最初の $n$ 個の座標が $x$ と一致するため $y^{(k)} \in V$ である。しかし、相異なる $k \neq l$ に対し、$y^{(k)}$ と $y^{(l)}$ は第 $n$ 座標が異なるため、$d(y^{(k)}, y^{(l)}) = 2^{-n}$ となる。したがって、点列 $(y^{(k)})$ のいかなる部分列もコーシー列にならず、収束部分列を持たない。これは距離空間 $V$ のコンパクト性に矛盾する。ゆえに、どの点も局所コンパクトでない。

対偶「孤立点が存在すれば、ある点で局所コンパクトになる」を示す。 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ が孤立点であると仮定する。このとき 1 点集合 $\{x\}$ は開集合である。また $\{x\}$ は有限集合であるからコンパクトである。したがって $\{x\}$ は $x$ のコンパクトな開近傍となり、空間は $x$ において局所コンパクトとなる。対偶が示されたので、どの点も局所コンパクトでない空間には孤立点が存在しない。

以下の 3 段階に分けて証明する。
段階 1: $\mathbb{N}^\mathbb{N} \cong (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$
$\mathbb{N}$ と $\mathbb{N}_{>0} = \{1, 2, 3, \dots\}$ はともに可算無限離散空間であるから、全単射 $j \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}_{>0}$（例えば $j(n) = n + 1$）は同相写像である。各座標に $j$ を適用する写像 $J((x_n)) = (j(x_n))$ は同相写像 $\mathbb{N}^\mathbb{N} \to (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$ を与える。
段階 2: $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$
写像 $h \colon \mathbb{R} \to (-1, 1)$ を $h(x) = \frac{x}{1+|x|}$ と定めると、これは同相写像であり、$x \in \mathbb{Q} \iff h(x) \in \mathbb{Q}$ を満たす。さらに affine 変換 $k(t) = \frac{t+1}{2}$ を合成した $k \circ h \colon \mathbb{R} \to (0, 1)$ も同相写像であり有理数性を保存する。制限により $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ を得る。
段階 3: $(\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$
$(0, 1)$ 内の任意の無理数 $x$ は、正整数列 $(a_0, a_1, a_2, \dots) \in (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$ を用いて一意に無限連分数展開される： $$ x = \cfrac{1}{a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \ddots}}} $$ この対応を $\phi \colon (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N} \to (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ とする。連分数の第 $n$ 近似分数を $p_n / q_n$ とすると、初めの $n$ 項 $(a_0, \dots, a_{n-1})$ を固定したシリンダー集合の像は、$p_{n-1}/q_{n-1}$ と $(p_{n-1} + p_{n-2})/(q_{n-1} + q_{n-2})$ を端点とする開区間内の無理数全体と一致する。これらの開区間は $(0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ の相対位相の開基をなすため、全単射 $\phi$ は開基を開基に写す。ゆえに $\phi$ は同相写像である。
段階 1〜3 を合成することにより、$\mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q}$ が得られる。

証明を 2 つの同相関係に分ける。
(1) $\mathbb{Z}[[T]] \cong \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ の証明：
写像 $\Phi \colon \mathbb{Z}[[T]] \to \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ を $\Phi(\sum_{i=0}^\infty a_i T^i) = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ と定義する。形式的冪級数はその係数列により一意に決まるため $\Phi$ は全単射である。 $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ の開基をなすシリンダー集合 $U(c_0, \dots, c_{n-1})$ に対し、その $\Phi$ による逆像は $$ \Phi^{-1}(U(c_0, \dots, c_{n-1})) = \{ f \in \mathbb{Z}[[T]] \mid f(T) \equiv \sum_{i=0}^{n-1} c_i T^i \pmod{T^n} \} = g + T^n \mathbb{Z}[[T]] $$ （ただし $g = \sum_{i=0}^{n-1} c_i T^i$）となる。これは $\mathbb{Z}[[T]]$ の開基そのものであるから、$\Phi$ は開基を開基に移す全単射であり、同相写像である。
(2) $\mathbb{Z}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ の証明：
写像 $h \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ を $$ h(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0 \text{ のとき}) \\ -2x - 1 & (x < 0 \text{ のとき}) \end{cases} $$ と定義すると、$h$ は離散空間同士の全単射同相写像である。各座標ごとに $h$ を適用する写像 $H \colon \mathbb{Z}^\mathbb{N} \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$、$H(x_0, x_1, \dots) = (h(x_0), h(x_1), \dots)$ を定めると、直積位相の定義より $H$ は全単射同相写像となる。
合成 $H \circ \Phi \colon \mathbb{Z}[[T]] \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$ により同相性が示された。

空間の clopen 分割を行って証明する。
$W_0 = \{ f \in \mathbb{Z}((T)) \mid \mathrm{ord}(f) \ge 0 \} = \mathbb{Z}[[T]]$ とおく。
補題 5.2.1: $W_0$ は $\mathbb{Z}((T))$ の clopen 部分集合であり、$W_0 \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
（証明）$W_0 = \{ f \mid d(f, 0) \le 1 \}$ である。任意の $f \in W_0$ に対し $B_1(f) \subset W_0$ となるため開集合である。また $g \notin W_0$ ならば $r = d(g, 0) > 1$ であり、超距離の性質より $B_r(g) \cap W_0 = \varnothing$ となるので補集合も開集合である。よって $W_0$ は clopen である。相対位相は $\mathbb{Z}[[T]]$ の $T$ 進位相と一致するため、定理 4.2 より $W_0 \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
補題 5.2.2: 補集合 $U = \mathbb{Z}((T)) \smallsetminus W_0$ について、$U \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
（証明）$U = \bigsqcup_{k=1}^\infty V_{-k}$ と分解する。ただし $V_{-k} = \{ f \in \mathbb{Z}((T)) \mid \mathrm{ord}(f) = -k \}$ である。超距離空間において中心からの距離が一定の集合は clopen であるため、各 $V_{-k}$ は clopen である。 $f \in V_{-k}$ は $f(T) = \sum_{n=-k}^\infty a_n T^n$ ($a_{-k} \neq 0$) と書ける。写像 $\Psi_k \colon V_{-k} \to (\mathbb{Z} \smallsetminus \{0\}) \times \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ を $$ \Psi_k \left( \sum_{n=-k}^\infty a_n T^n \right) = (a_{-k}, (a_{-k+1}, a_{-k+2}, \dots)) $$ と定めると $\Psi_k$ は同相写像である。$\mathbb{Z} \smallsetminus \{0\} \cong \mathbb{N}$ および $\mathbb{Z}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ より、$V_{-k} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。 位相和の性質から $U \cong \bigoplus_{k=1}^\infty \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ を得る。
全体空間の結合：
$\mathbb{Z}((T)) = W_0 \sqcup U \cong \mathbb{N}^\mathbb{N} \oplus \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \{0, 1\} \times \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。 写像 $g \colon \{0, 1\} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$ を $$ g(0, (x_0, x_1, x_2, \dots)) = (2 x_0, x_1, x_2, \dots) $$ $$ g(1, (x_0, x_1, x_2, \dots)) = (2 x_0 + 1, x_1, x_2, \dots) $$ と定義すると、$g$ は全単射であり、シリンダー集合を開基に写し合うため同相写像である。 したがって、$\mathbb{Z}((T)) \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。

証明 1（開基の直接対応による証明）：
(i) $\mathrm{id} \colon X \to Y$ の連続性：
$Y$ の準開基 $R(a) = \{ x \mid x > a \}$ の $\mathrm{id}$ による逆像（集合として $R(a)$ 自身）が $X$ で開集合であることを示す。 任意な $x \in R(a)$ をとると $x > a$ である。$k = \min \{ n \mid x_n \neq a_n \}$ とおくと $x_k = 1, a_k = 0$ である。 $X$ の基本開集合 $V = U(x_0, \dots, x_k)$ をとる。任意の $y \in V$ について、$i < k$ では $y_i = x_i = a_i$ であり、$y_k = x_k = 1 > 0 = a_k$ となるため、$y > a$ すなわち $y \in R(a)$ である。 ゆえに $x \in V \subset R(a)$ となり、$R(a)$ は $X$ の開集合である。同様に $L(a)$ も $X$ の開集合となるため、$\mathrm{id}$ は連続である。

(ii) $\mathrm{id}^{-1} \colon Y \to X$ の連続性：
$X$ の任意の基本開集合 $C = U(c_0, \dots, c_{n-1})$ が $Y$ で開集合であることを示す。 $u, v \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を次のように定める： $$ u_i = \begin{cases} c_i & (i < n \text{ のとき}) \\ 0 & (i \ge n \text{ のとき}) \end{cases}, \quad v_i = \begin{cases} c_i & (i < n \text{ のとき}) \\ 1 & (i \ge n \text{ のとき}) \end{cases} $$ このとき $C = [u, v] = \{ x \in \{0, 1\}^\mathbb{N} \mid u \le x \le v \}$ であることを確認する。実際、$x \in C$ ならば明らかに $u \le x \le v$ である。逆に $x \notin C$ とすると、$x_j \neq c_j$ となる最小の $j < n$ が存在する。$x_j = 0$ ($c_j = 1$) ならば $x < u$ であり、$x_j = 1$ ($c_j = 0$) ならば $x > v$ となるため $x \notin [u, v]$ である。
区間 $[u, v] = \{ x \mid u \le x \} \cap \{ x \mid x \le v \}$ が $Y$ で開であることを示すため、$\{ x \mid u \le x \}$ と $\{ x \mid x \le v \}$ が開であることを示す。
・下限 $u$ について： $u = (0, 0, \dots)$ ならば $\{ x \mid u \le x \} = Y$ （全空間）で開である。 $u \neq (0, 0, \dots)$ のとき、$i \ge n$ では $u_i = 0$ であるから、$u_k = 1$ となる最大のインデックス $k$ は $k < n$ に存在する。 数列 $u' \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を次のように定義する： $$ u'_i = \begin{cases} u_i & (i < k \text{ のとき}) \\ 0 & (i = k \text{ のとき}) \\ 1 & (i > k \text{ のとき}) \end{cases} $$ ここで $u' < u$ である。さらに $u' < z < u$ を満たす $z$ が存在しないことを背理法で示す。 仮にそのような $z$ が存在したとする。$u' < z$ より、両者が初めて異なるインデックスを $m$ とすると $u'_m = 0, z_m = 1$ である。
1) $m < k$ の場合：$i < k$ では $u_i = u'_i$ であるから、$i < m$ で $z_i = u'_i = u_i$ かつ $z_m = 1 > 0 = u'_m = u_m$ となり、$z > u$ となって矛盾する。
2) $m = k$ の場合：$i < k$ で $z_i = u'_i = u_i$ であり、$z_k = 1 = u_k$ となる。$i > k$ において $u_i = 0$ であるから、どのような $z$ であっても $z \ge u$ となり $z < u$ に矛盾する。
3) $m > k$ の場合：$u'_m = 0$ となり得るのは定義より $m \le k$ の場合のみである（$i > k$ では $u'_i = 1$）。したがってこの場合は起こり得ない。
直間の元が存在しないため、$\{ x \mid u \le x \} = \{ x \mid u' < x \} = R(u')$ となり、これは $Y$ の開集合である。
・上限 $v$ について： $v = (1, 1, \dots)$ ならば $\{ x \mid x \le v \} = Y$ で開である。 $v \neq (1, 1, \dots)$ のとき、$i \ge n$ で $v_i = 1$ より、$v_m = 0$ となる最大のインデックス $m$ は $m < n$ に存在する。 数列 $v' \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を $$ v'_i = \begin{cases} v_i & (i < m \text{ のとき}) \\ 1 & (i = m \text{ のとき}) \\ 0 & (i > m \text{ のとき}) \end{cases} $$ と定義すると、$v < v'$ であり、$v < z < v'$ なる $z$ は存在しない。したがって $\{ x \mid x \le v \} = \{ x \mid x < v' \} = L(v')$ となり、$Y$ の開集合である。
以上より $C = [u, v] = R(u') \cap L(v')$ は $Y$ の 2 つの開集合の交わりであるから $Y$ で開集合である。よって $\mathrm{id}^{-1}$ は連続であり、$\mathrm{id}$ は同相写像である。

証明 2（コンパクト性と Hausdorff 性による証明）：
(1) $X$ のコンパクト性： 定理 2.3 より、$X = \{0, 1\}^\mathbb{N}$ は Tychonoff の定理によりコンパクト空間である。
(2) $Y$ の Hausdorff 性： 相異なる 2 点 $x, y \in Y$ をとる。一般性を失わず $x < y$ とする。
・場合 1: $x < z < y$ となる $z \in Y$ が存在する場合。
$U = L(z) = \{ w \in Y \mid w < z \}$ および $V = R(z) = \{ w \in Y \mid w > z \}$ とおくと、$U, V$ は $Y$ の開集合であり、$x \in U, y \in V$ かつ $U \cap V = \varnothing$ を満たす。
・場合 2: $x < z < y$ となる $z \in Y$ が存在しない場合。
$U = L(y) = \{ w \in Y \mid w < y \}$ および $V = R(x) = \{ w \in Y \mid w > x \}$ とおくと、$U, V$ は $Y$ の開集合であり、$x \in U, y \in V$ である。共通部分は $U \cap V = \{ w \in Y \mid x < w < y \} = \varnothing$ である。
いずれの場合も分離開集合が存在するため、$Y$ は Hausdorff 空間である。
(3) 同相性の結語： 証明 1 (i) で示した通り、恒等写像 $\mathrm{id} \colon X \to Y$ は連続である。 「コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である」という位相空間論の基本定理を適用する。 実際、$X$ の任意の閉集合 $K$ はコンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトであり、連続像 $\mathrm{id}(K)$ も $Y$ でコンパクトである。$Y$ は Hausdorff であるから $\mathrm{id}(K)$ は $Y$ の閉集合となる。したがって $\mathrm{id}$ は閉写像であり、全単射連続閉写像であるから同相写像である。

$X$ は完備距離化可能であるから、その位相を誘導する完備距離 $d$ を固定する。定理 2.2 の証明中で示したように、コンパクト Hausdorff 空間において完全不連結であることは零次元であることと同値であるため、$X$ は clopen 集合を開基に持つ。

補題 7.1.1: 任意の空でない clopen 集合 $U \subset X$ と任意の整数 $m \ge 1$、および任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$U$ を直径が $\varepsilon$ 未満であるような $2^k$ 個（ただし $2^k \ge m$）の空でない互いに素な clopen 集合に分割できる。
（証明）$U$ はコンパクト空間 $X$ の閉部分集合であるためコンパクトである。したがって $U$ は全有界 (totally bounded) であり、半径 $\varepsilon / 2$ の有限個の開球で覆うことができる。各 $x \in U$ に対し、開基の性質より $x \in V_x \subset B_{\varepsilon/2}(x)$ となる clopen 集合 $V_x$ がとれる。$U$ のコンパクト性より、$U = V_{x_1} \cup \dots \cup V_{x_N}$ と有限個の clopen 集合で覆える。これを互いに素な和集合 $U = W_1 \sqcup \dots \sqcup W_{N'}$ に作り直す（例えば $W_i = V_{x_i} \smallsetminus \bigcup_{j < i} V_{x_j}$ とし、空集合を除外する）。各 $W_i$ は clopen であり、直径は $\varepsilon$ 未満である。
次に、$X$ は孤立点を持たないため、任意の空でない開集合は少なくとも 2 点を含む。$X$ は Hausdorff であり零次元であるから、2 点を含む clopen 集合は、さらに 2 つの空でない clopen 集合に分割できる。この操作を、分割された clopen 集合の総数が $2^k$ （ただし $2^k \ge m$）に到達するまで繰り返すことで、求める分割を得る。

同相写像の構成：
カントール空間 $2^\mathbb{N}$ の元を無限列 $x = (x_0, x_1, \dots)$ とし、$x|n = (x_0, \dots, x_{n-1}) \in 2^n$ を長さ $n$ の初期セグメントとする。各 $s \in 2^{<\mathbb{N}}$ に対して、$X$ の空でない clopen 集合 $U_s$ を割り当てる写像（カントール・スキーム）を次のように帰納的に構成する。
・レベル 0: $U_\emptyset = X$ とする。
・レベル $n$ から $n+k$ への遷移: レベル $n$ において $2^n$ 個の空でない clopen 集合 $U_s$ （$|s|=n$）が構成されているとする。各 $U_s$ に対して補題 7.1.1 を適用し、最大直径が $2^{-n}$ 未満となるように分割する。このとき、分割の個数の最大値を $M$ とし、$2^k \ge M$ なる $k$ を選ぶ。すべての $U_s$ ($|s|=n$) をちょうど $2^k$ 個の直径 $2^{-n}$ 未満の clopen 集合に分割する。 これらの分割された集合を、長さ $n+k$ のノード $U_{s^\frown t}$ ($t \in 2^k$) に 1 対 1 に割り当てる。中間の長さ ($n < l < n+k$) のノードに対しては、その子孫ノードの和集合として定義する。これにより、$U_s = U_{s^\frown 0} \sqcup U_{s^\frown 1}$ を常に満たす。

このスキームから、写像 $\phi \colon 2^\mathbb{N} \to X$ を $$ \{ \phi(x) \} = \bigcap_{n=0}^\infty U_{x|n} $$ と定義する。構成より、$\overline{U_{x|n}} = U_{x|n}$ であり、直径は $n \to \infty$ とともに $0$ に収束するため、完備距離空間の性質（カントールの交叉定理）から共通部分はただ 1 点からなる。よって $\phi$ は well-defined である。
$x \neq y$ であれば、ある $n$ で $x|n \neq y|n$ となり $U_{x|n} \cap U_{y|n} = \varnothing$ であるため $\phi$ は単射である。また、任意の $n$ について $\{ U_s \}_{|s|=n}$ は $X$ の分割であるため、任意の $p \in X$ は各レベルで一意な $U_s$ に属し、それらを連ねた列 $x$ によって $p = \phi(x)$ となるため $\phi$ は全射である。
$\phi$ によるシリンダー集合 $U(x_0, \dots, x_{n-1})$ の像はちょうど $U_{x|n}$ となる。$U_{x|n}$ は $X$ で開集合であるから $\phi$ は開写像である。同時に $\phi^{-1}(U_{x|n})$ はシリンダー集合となり開集合であるため $\phi$ は連続である。したがって、$\phi$ は同相写像である。

$X$ の完備距離 $d$ を固定する。零次元であるため $X$ は clopen 開基を持つ。

補題 8.1.1: 任意の空でない clopen 集合 $U \subset X$ と任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$U$ は直径が $\varepsilon$ 未満であるような可算無限個の空でない互いに素な clopen 集合 $(V_i)_{i \in \mathbb{N}}$ に分割できる。
（証明）$X$ はどの点も局所コンパクトでないため、$U$ は開集合としてコンパクト部分集合になり得ない。完備距離空間における部分集合がコンパクトであることと、それが閉かつ全有界であることは同値である。$U$ は閉集合であるがコンパクトではないため、全有界ではない。したがって、ある $\delta > 0$ が存在して、$U$ を直径 $\delta$ 未満の有限個の集合で覆うことはできない。
$\eta = \min(\varepsilon, \delta)$ とおく。$X$ は Polish 空間であり可分であるため、その部分集合 $U$ も Lindelöf 空間（任意の開被覆が可算部分被覆を持つ）である。$U$ の各点を、直径が $\eta$ 未満の clopen 集合で覆い、そこから可算部分被覆 $\{ W_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ を抽出する。これを非交和に直すため、$C_n = W_n \smallsetminus \bigcup_{k < n} W_k$ とおき、空集合となるものを除外することで、空でない互いに素な clopen 集合の列 $(V_i)$ を得る。この列は $U$ を分割し、各 $V_i$ の直径は $\eta \le \varepsilon$ 未満である。
ここで、各 $V_i$ の直径は $\delta$ 以下であるため、仮に $(V_i)$ が有限列であったとすると、$U$ が直径 $\delta$ 未満の有限個の集合で覆えることになり、全有界でないという事実に矛盾する。したがって、列 $(V_i)_{i \in \mathbb{N}}$ は必ず可算無限個の元からなる。これで補題が示された。

同相写像の構成：
ベール空間 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ の元 $x$ に対して、ルジン・スキーム (Lusin scheme) $U_s$ ($s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$) を以下のように構成する。
・レベル 0: $U_\emptyset = X$ とする。
・レベル $n$ から $n+1$ への遷移: 長さ $n$ のノード $s \in \mathbb{N}^n$ に対して、空でない clopen 集合 $U_s$ が得られているとする。開集合の開部分空間もまた局所コンパクトを持たないため、$U_s$ に補題 8.1.1 を適用し、$\varepsilon = 2^{-n}$ として可算無限個の直径 $2^{-n}$ 未満の空でない clopen 分割 $(V_i)_{i \in \mathbb{N}}$ を得る。これを $U_{s^\frown i} = V_i$ と定義する。

写像 $\psi \colon \mathbb{N}^\mathbb{N} \to X$ を $$ \{ \psi(x) \} = \bigcap_{n=0}^\infty U_{x|n} $$ によって定義する。定理 7.1 と同様に、$\overline{U_{x|n}} = U_{x|n}$ であり、直径が $0$ に収束するため、完備性により一意な点が存在し $\psi$ は well-defined である。
単射性：$x \neq y$ ならばある $n$ で $x_n \neq y_n$ となり、$U_{x|n+1} \cap U_{y|n+1} = \varnothing$ となるため $\psi(x) \neq \psi(y)$。
全射性：各レベル $n$ において $\{ U_s \}_{|s|=n}$ は $X$ の直和分割であるから、任意の $p \in X$ を含む一意な列 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ が存在し、$p = \psi(x)$ となる。
連続性と開写像性：$\mathbb{N}^\mathbb{N}$ の開基であるシリンダー集合 $U(x_0, \dots, x_{n-1})$ の $\psi$ による像は、まさに $X$ の clopen 集合 $U_{x|n}$ である。したがって、$\psi$ は開基を開基に一対一で写す全単射であり、同相写像である。